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# **Option Pricing模型详解与Python代码示例**

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# 在金融市场中，期权定价是一个至关重要的领域，它涉及到投资者如何为未来的权利（如购买或出售某资产）确定一个合理的价格。其中，Black-Scholes模型（简称B-S模型）是最常用且影响深远的期权定价模型之一。下面，我们将对B-S模型进行详细的解释，并提供一个基于Python的代码示例。

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# **一、Black-Scholes模型简介**

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# Black-Scholes模型是由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出的，该模型基于一系列假设条件，包括金融资产收益率服从对数正态分布、无风险利率和金融资产收益变量在期权有效期内恒定、市场无摩擦（即不存在税收和交易成本）等。在这些假设下，模型通过考虑股票价格、执行价格、无风险利率、到期时间和股票波动率等因素，为欧式期权提供了一个理论上的定价公式。

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# **二、Black-Scholes模型公式**

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# B-S模型的公式如下：

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# \[ C = S \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2) \]

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# 其中：

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# - \( C \) 是期权的价格

# - \( S \) 是股票的当前价格

# - \( K \) 是期权的执行价格

# - \( r \) 是无风险利率

# - \( T \) 是期权的到期时间（以年为单位）

# - \( \sigma \) 是股票的波动率

# - \( N(d_1) \) 和 \( N(d_2) \) 是标准正态分布的累积分布函数，其中

#   - \( d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}} \)

#   - \( d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \)

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# **三、Python代码示例**

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# 下面是一个使用Python实现Black-Scholes模型的简单示例：

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import math

import scipy.stats as stats



def black_scholes(S, K, T, r, sigma):

    """

    Black-Scholes模型计算期权价格

    

    参数:

        S: 股票的当前价格

        K: 期权的执行价格

        T: 期权的到期时间（以年为单位）

        r: 无风险利率（连续复利）

        sigma: 股票的波动率

        

    返回:

        C: 期权的价格

    """

    # 计算d1和d2

    d1 = (math.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))

    d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)

    

    # 使用scipy库中的norm.cdf函数计算N(d1)和N(d2)

    N_d1 = stats.norm.cdf(d1, 0.0, 1.0)

    N_d2 = stats.norm.cdf(d2, 0.0, 1.0)

    

    # 计算期权价格

    C = S * N_d1 - K * math.exp(-r * T) * N_d2

    

    return C



# 示例参数

S = 100  # 股票当前价格

K = 105  # 期权执行价格

T = 1.0  # 期权到期时间（1年）

r = 0.05  # 无风险利率（5%）

sigma = 0.2  # 股票波动率（20%）



# 计算期权价格

C = black_scholes(S, K, T, r, sigma)

print(f"期权价格为: {C:.2f}")
